Niech X będzie dowolnym zbiorem. Każdy podzbiór A zbioru X wyznacza pewną własność W przysługującą jedynie elementom zbioru A zgodnie z definicją:

Zamiast 'x ma własność W' piszemy też krótko W(x). Na przykład, zbiór A= {2i+1: i N} jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych, wyróżniającym się tym, że należą do niego tylko liczby nieparzyste. Zbiór A określa więc własność W= 'być liczbą nieparzystą'

O własnościach wyznaczonych przez pewien podzbiór zbioru będziemy mówili, że są to relacje jednoczłonowe.

Rozważmy teraz sytuację, w której zbiór X jest sam produktem dwóch zbiorów, np.: X = Y ´ Z. Każdy podzbiór A takiego zbioru X składa się z par uporządkowanych (y, z) takich, że yÎ Y i zÎ Z. Wyznacza on pewną własność W dotyczącą par uporządkowanych

Inaczej mówiąc, W określa zależność między elementami zbiorów Y i Z. Na przykład, zbiór A= {(i, j) Î N ´ N : i < j}, podzbiór produktu N´ N, wyznacza zależność W między liczbami naturalnymi polegającą na tym, że W(i, j) wttw drugi element pary (i, j) jest większy niż pierwszy element pary.

Przykład 2.2

1. Między liczbami naturalnymi 2 i 6, 2 i 8, 5 i 15, 6 i 24 i ogólnie liczbami postaci n i k* n , zachodzi zależność zwana relacją podzielności. Relacja podzielności, oznaczana przez |, jest relacją dwuczłonową przysługującą parom liczb naturalnych (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dzielnikiem y, tzn. x | y wttw wynik dzielenia y przez x jest liczbą naturalną.
2. Niech X będzie zbiorem pewnych produktów spożywczych, a Y zbiorem liczb rzeczywistych. W zbiorze par uporządkowanych X ´ Y możemy określić relację CENNIK: para (x, y) Î CENNIK wttw cena produktu x wynosi y złotych.
3. Niech X będzie zbiorem miast w Polsce i Y =X. Określimy w X relację binarną r taką, że (x, y) Î r wttw istnieje droga łącząca miasta x i y.

Przykład 2.3

1. W zbiorze R, wszystkich liczb rzeczywistych, określimy relację binarną r: para (x,y) Î r wttw x jest kwadratem liczby rzeczywistej y. Dziedzinę tej relacji stanowi zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną jest natomiast zbiór R.
2. Niech A będzie dowolnym zbiorem. Inkluzja, określona na podzbiorach zbioru A jest relacją dwuczłonową, której dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór potęgowy P(A).

Relacje dwuczłonowe określone w zbiorze R, można przedstawić geometrycznie jako zbiór punktów na płaszczyźnie, tak jak to było w przypadku podzbiorów produktu kartezjańskiego. Takie graficzne przedstawienie relacji nazywamy wykresem relacji.

Rozważmy jako przykład relację r1:

Wykresem tej relacji jest zbiór punktów spełniających warunek y = x², czyli parabola, por. Rys. 2.3. Dziedzinę relacji r stanowią wszystkie liczby rzeczywiste, a przeciwdziedzinę, zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

Rys. 2.3 Wykres relacji (x,y)Î r1 wttw y= x².

Pytanie 2: Niech będzie relacja r określona w zbiorze liczb rzeczywistych warunkiem (x,y) Î r wttw x ² +y ² = 4. Co jest wykresem relacji r? Określ dziedzinę i przeciwdziedzinę relacji r.

Każdą relację binarną r w skończonym produkcie X ´ Y można przedstawić w postaci macierzy (tablicy) dwuwymiarowej, której wiersze są oznaczone elementami zbioru X, a kolumny elementami zbioru Y.

Fakt, że para (x, y) należy do relacji zaznaczamy na pozycji (i, j) jakimś specjalnym znakiem , np. 1, true, +. Tak zbudowaną tablicę nazywamy macierzą relacji.

Przykład 2.4

Niech X={1,2,3,4} i Y={5,6,7,8,9}. Wtedy relację r Í X´ Y taką, że

można przedstawić jako macierz M(4´ 5) przedstawioną na rysunku Rys. 2.4. Macierz M ma 4 wiersze i 5 kolumn oznaczonych odpowiednio elementami zbiorów X i Y. Element znajdujący się na przecięciu itego wiersza i jtej kolumny M(i,j) wskazuje, czy para (i,j) należy, czy nie należy do relacji:

W tym konkretnym przykładzie (2,6), (2,8), (4,8) itd. należą do relacji r, natomiast (2,7) i (2,9) nie należą do relacji r, i dlatego nie zostały zaznaczone odpowiadające tym parom pola.

Rys. 2.4 Macierz relacji (x, y) Îr wttw x jest dzielnikiem y

Innym sposobem reprezentowania graficznego relacji jest graf relacji. Jest to rysunek składający się z węzłów, zaznaczonych na płaszczyźnie jako np.: punkty lub małe kółeczka, i krawędzi, zaznaczonych jako strzałki łączące węzły. Obowiązuje zasada:

Ten rodzaj reprezentacji relacji dwuczłonowej można stosować w przypadku, gdy zbiory, w których określona jest relacja, są małe.

Uwaga. W dalszym ciągu wykładu grafy będą najczęściej stosowanym sposobem reprezentowania różnych pojęć i dlatego poświęcimy im osobny paragraf.

Przykład 2.5

Rozważmy relację z przykładu 2.4. Graf tej relacji przedstawiamy na rysunku 2.5a i 2.5b. Kształt węzłów lub strzałek oraz miejsce umieszczenia węzłów na płaszczyźnie nie mają szczególnego znaczenia dla samej relacji, są jednak istotne ze względu na czytelność.

Rys. 2.5 Graf relacji (x, y) Î r wttw x jest dzielnikiem y